夜读 每天一个经济学小故事

　　圣彼得堡悖论是决策论中的一个著名悖论，它是由瑞士数学家尼古拉·伯努利（Nicolaus Bernoulli）在1738年提出的一个掷币游戏：抛一枚均匀的硬币，直至出现正面为止，你的收入取决于第几次抛硬币才首次出现正面。如果第一次就是正面，收益为2元（概率为1/2），如果第二次才出现正面，收益为4元（概率为1/4），依此类推，如果第n次才出现正面，收益为2的n次方（概率为1除以2的n次方）。

　　很容易验证这个游戏的期望收益是无穷大（2的n次方乘以2的n次方分之一，然后对n从1到无穷大求和，即n个1之和，当n趋于无穷大，期望也趋于无穷大）。尽管游戏的期望收益是无穷大，但实际上很少有人愿意支付8元以上费用参与这项游戏，这是不是说明人们的选择是非理性的呢？答案是否定的，这个现象可以部分地通过经济学中著名的边际效用递减的规律来解释，我们认为人们进行决策的时候考虑的是收益带来的效用而非收益本身，由于边际效用递减，当收益很高时，收益带给人们的效用并不等于收益本身。换句线元钱对于一个身无分文的穷人和一个家财万贯的富翁具有完全不一样的意义（带给他们的边际效用大不相同）。事实上，如果我们引入经济学中著名的期望效用函数模型就可以在一定程度上解释圣彼得堡悖论，在期望效用函数理论中，如果效用等于收益，就意味着风险中性，即人们只关心平均收益，而不关心风险（方差），但事实上大多数人都是风险厌恶的，数学上可以表述为效用是收益的凹函数（与边际效用递减一致），例如效用是收益的平方根，这种情况下，很容易验证上述掷币游戏的期望效用函数值大约为2.4，而不是无穷大。

　　当然这样的解释存在一个问题，即给定一个期望效用函数（代表人们的风险厌恶程度），我们总能通过扩大收益使得期望效用函数值趋于无穷大，如果效用是收益的平方根，当我们将收益变为2的2n次方之后，期望效用函数值将仍为无穷大，所以圣彼得堡悖论的最终解决是通过样本均值和理论均值差异，样本均值随着样本容量的增加，收敛于其理论期望值，如果我们认为圣彼得堡悖论的理论期望值为无穷大，那么就意味着样本容量也需要无穷大，这在现实生活中是不可能实现的，通过计算机模拟可知进行100万次游戏的收益均值大约是20元，所以没有人愿意支付很多钱来参与这个游戏，当然圣彼得堡悖论的最终解决更像是一个统计学问题而不是经济学问题。